Question

19．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x²-y²=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（　　）

• A． $\frac{λ}{4}$
• B． $\frac{λ}{2}$
• C． λ
• D． 无法确定

Answer 1

分析 设M（m，n），即有m²-n²=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．

解答 解：设M（m，n），即有m²-n²=λ，
双曲线的渐近线为y=±x，
可得|MN|=$\frac{|m-n|}{\sqrt{2}}$，
由勾股定理可得|ON|=$\sqrt{|OM{|}^{2}-|MN{|}^{2}}$
=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}-\frac{（m-n）^{2}}{2}}$=$\frac{|m+n|}{\sqrt{2}}$，
可得|ON|•|MN|=$\frac{|m+n|}{\sqrt{2}}$•$\frac{|m-n|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|{m}^{2}-{n}^{2}|}{2}$=$\frac{λ}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，注意点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．