Question

4．双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线C₂：y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰过它们公共焦点F，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（　　）

• A． （$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
• B． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）
• C． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）
• D． （0，$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标；将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，求出双曲线的渐近线的斜率，求出倾斜角的范围．

解答 解：抛物线的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）
∴p=2c
∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，
∴将x=c代入双曲线方程得到A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）
将A的坐标代入抛物线方程得到$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$=2pc
4a⁴+4a²b²-b⁴=0
解得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$
双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{b}{a}$x
设倾斜角为α，则tanα=$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$$＞\sqrt{3}$
∴$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$
故选：A．

点评 本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求渐近线的方程．