Question

9．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$，记函数f（x）与g（x）的交点坐标为（x₀，f（x₀）），若两函数的图象在交点（x₀，f（x₀））处存在公切线，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3e}$
• B． $\frac{{e}^{2}}{6}$
• C． $\frac{{e}^{2}}{2}$
• D． $\frac{3e}{2}$

Answer 1

分析 设交点为（x₀，x₀lnx₀），分别求出f（x），g（x）的导数，由题意可得切线的斜率相等且切点重合，得到x₀，a的方程，消去a，可得1+ex₀lnx₀=0，令h（x）=1+exlnx，运用求得，判断单调区间，即可得到x₀=$\frac{1}{e}$，进而得到a的值．

解答 解：由题意可得交点为（x₀，x₀lnx₀），
函数f（x）=xlnx的导数为f′（x）=lnx+1，
g（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$的导数为g′（x）=3ax²-$\frac{1}{2}$，
由题意可得，1+lnx₀=3ax₀²-$\frac{1}{2}$，且x₀lnx₀=ax₀³-$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{2}{3e}$，
消去a，可得1+ex₀lnx₀=0，
令h（x）=1+exlnx，h′（x）=e（lnx+1），
当x＞$\frac{1}{e}$时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=$\frac{1}{e}$处h（x）取得极小值，也为最小值，且为0．
则1+ex₀lnx₀=0，解得x₀=$\frac{1}{e}$，
代入1+lnx₀=3ax₀²-$\frac{1}{2}$，可得a=$\frac{1}{6}$e²．
故选B．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查导数的运用：求最值，正确求导和化简整理的运算是解题的关键．