Question

1．已知：当x＞0时，不等式$\frac{1}{1+x}$≥kx+b恒成立，当且仅当x=$\frac{1}{3}$时取等号，则k=-$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{3}$k+b，求出b，再对不等式化简整理，可得当x＞0时，不等式$\frac{1}{1+x}$≥kx+b恒成立．即为$\frac{1}{1+x}$-$\frac{3}{4}$≥k（x-$\frac{1}{3}$），对x讨论，结合函数的单调性和恒成立思想即可得到k的值．

解答 解：由题意可得，不等式$\frac{1}{1+x}$≥kx+b，当且仅当x=$\frac{1}{3}$时取等号，
即有$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{3}$k+b，即b=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{3}$k．
则当x＞0时，不等式$\frac{1}{1+x}$≥kx+b恒成立．
即为$\frac{1}{1+x}$-$\frac{3}{4}$≥k（x-$\frac{1}{3}$），
即有$\frac{1-3x}{4（1+x）}$≥$\frac{k（3x-1）}{3}$，
当x＞$\frac{1}{3}$时，k≤-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{1+x}$恒成立，y=-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{1+x}$在（$\frac{1}{3}$，+∞）递增，
即有y＞-$\frac{9}{16}$，即k≤-$\frac{9}{16}$；
当0＜x＜$\frac{1}{3}$时，k≥-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{1+x}$恒成立，y=-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{1+x}$在（0，$\frac{1}{3}$）递增，
即有y＜-$\frac{9}{16}$，即k≥-$\frac{9}{16}$．
由题意可得，k=-$\frac{9}{16}$．
故答案为：-$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离和函数的单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．