Question

（2010•崇明县二模）若函数f（x）=-tx²+2x+1（t＜0，t为常数），对于任意两个不同的x₁，x₂，当x₁，x₂∈[-2，2]时，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（k为常数，k∈R）成立，则实数k的取值范围是

[2-4t，+∞）

．

Answer 1

分析：由|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（k为常成立，变为|-t（（x₁+x₂）+2|≤k，当x₁，x₂∈[-2，2]时恒成立，求出t的范围即可．

解答：解：根由题意f（x）=-tx²+2x+1，对于任意两个不同的x₁，x₂∈[-2，2]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|
即|-t（（x₁+x₂）+2|≤k，x₁，x₂∈[-∈[-2，2]时恒成立
∵x₁，x₂∈[-2，2]
∴-t（（x₁+x₂）+2∈（4t+2，-4t+2）
∴|-t（x₁+x₂）+2|∈[0，-4t+2）
∴-4t+2＜k
故答案为：[-4t+2，+∞）

点评：考查学生函数与方程的综合运用能力，以及理解不等式恒成立条件的能力