Question

已知圆C：（x+3）²+（y-6）²=36，直线l过点M（0，3）把圆C分成两部分，且使得这两部分面积之差的绝对值最大．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于点A、B，点P是圆C上异于A、B的一点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）由题意得到当直线l与圆相交的弦最短时，把圆分成的两部分面积之差的绝对值最大，求出MC所在直线方程的斜率，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）求出圆心到直线AB的距离以及弦长AB，根据圆的性质可得点P到AB距离的最大值，即可求出△PAB面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得M（0，3）在圆内，
当直线l与圆相交的弦最短时，把圆分成的两部分面积之差的绝对值最大，此时MC⊥l．
又直线MC的斜率为

6-3

-3-0

=-1，∴k_l=1，
∴直线l的方程为x-y+3=0．（6分）
（Ⅱ）圆心C到直线l的距离为

|-3-6+3|

2

=3

2

，∴|AB|=2

36-18

=6

2

，
根据圆的性质可得点P到AB距离的最大值为3

2

+6，
∴△PAB面积的最大值为：

1

2

×6

2

×(3

2

+6)=18+18

2

．（12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，考查圆的切线性质，两直线垂直的性质，属于中档题．