Question

12．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{x-2}}-1，x≥0\\ x+2，x＜0\end{array}\right，g（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x≥0\\ \frac{1}{x}，x＜0.\end{array}\right.$则函数f[g（x）]的所有零点之和是$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求得f[g（x）]的解析式，x≥0时，由${2}^{{x}^{2}-2x-2}$-1=0，可解得：x=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$（小于0，舍去）；x＜0时，由$\frac{1}{x}$+2=0，可解得：x=-$\frac{1}{2}$，从而可求函数f[g（x）]的所有零点之和．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{x-2}}-1，x≥0\\ x+2，x＜0\end{array}\right，g（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x≥0\\ \frac{1}{x}，x＜0.\end{array}\right.$，
∴f[g（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{x}^{2}-2x-2}-1，x≥2或x=0}\\{\frac{1}{x}+2，x＜0}\end{array}\right.$，且f[g（x）]=x²-2x+2，（ 0＜x＜2）
分情况讨论：①x≥2或x=0时，由2x2-2x-2-1=0，
可解得：x=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$（小于0，舍去）；
②x＜0时，由$\frac{1}{x}$+2=0，可解得：x=-$\frac{1}{2}$，
③当 0＜x＜2时，由x²-2x+2=0，无解．
∴函数f[g（x）]的所有零点之和是1+$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{1}{2}+\sqrt{3}$．

点评 本题主要考察了函数的零点，函数的性质及应用，属于基本知识的考查．