Question

3．已知直线y=$\frac{1}{2}$x与椭圆E：x²+2y²=λ（λ＞0）交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B的两点且直线AC，BD交于M，AD，BC交于点N，试求直线MN的斜率．

Answer 1

分析 求出A，B坐标，对直线CA是否有斜率进行讨论，求出四条直线的斜率的关系，得出四条直线的方程，解出M，N的坐标，代入斜率公式计算斜率．

解答 解：联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=λ}\end{array}\right.$得A（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$），B（-$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$）．
（1）当直线CA，CB，DA，DB的斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k₁，k₂，C（x₀，y₀），
则k₁•k_CB=$\frac{{y}_{0}-\frac{\sqrt{6λ}}{6}}{{x}_{0}-\frac{\sqrt{6λ}}{3}}$•$\frac{{y}_{0}+\frac{\sqrt{6λ}}{6}}{{x}_{0}+\frac{\sqrt{6λ}}{3}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{λ}{6}}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{2λ}{3}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{λ}{6}}{λ-2{{y}_{0}}^{2}-\frac{2λ}{3}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴k_BC=-$\frac{1}{2{k}_{1}}$，同理可得k_BD=-$\frac{1}{2{k}_{2}}$．
∴直线AD的方程为y-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$=k₂（x-$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$），①
直线BC的方程为y+$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$=-$\frac{1}{2{k}_{1}}$（x+$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$），②
联立方程组①②可得N（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$•$\frac{2{k}_{1}{k}_{2}-2{k}_{1}-1}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}$，$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$•$\frac{-2{k}_{1}{k}_{2}-4{k}_{2}+1}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}$），
将k₁，k₂互换即可得出M（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$•$\frac{2{k}_{1}{k}_{2}-2{k}_{2}-1}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}$，$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$•$\frac{-2{k}_{1}{k}_{2}-4{k}_{1}+1}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}$）．
∴k_MN=$\frac{\frac{\sqrt{6λ}}{6}（\frac{4{k}_{1}-4{k}_{2}}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}）}{\frac{\sqrt{6λ}}{3}（\frac{2{k}_{2}-2{k}_{1}}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}）}$=-1．
（2）当CA，CB，DA，DB中有直线斜率不存在时，则至多有一条直线斜率不存在，
不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$），故直线CA的方程为x=$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，③
设DA的斜率为k₂，则直线DB的斜率为-$\frac{1}{2{k}_{2}}$，∴直线DB的方程为y+$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$=-$\frac{1}{2{k}_{2}}$（x+$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$），④
联立方程组③④得M（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$•$\frac{-{k}_{2}-2}{{k}_{2}}$），
直线BC的方程为y=-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$，⑤
直线AD的方程为y-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$=k₂（x-$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$），⑥
联立方程组⑤⑥得N（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$•$\frac{{k}_{2}-1}{{k}_{2}}$，-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$），
∴k_MN=$\frac{\frac{\sqrt{6λ}}{6}（\frac{-{k}_{2}-2}{{k}_{2}}+1）}{\frac{\sqrt{6λ}}{3}（1-\frac{{k}_{2}-1}{{k}_{2}}）}$=-1．
综上，直线MN的斜率为-1．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，直线方程与斜率计算，属于中档题．