Question

8．已知函数f（x）=-x³+ax²-4．
（Ⅰ）若f（x）在x=2处取得极值，且关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，f（x）在x=2处取得极值，求出a，然后求解函数的极值，通过关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求解实数m的取值范围；
（Ⅱ）求出函数的最大值，利用最大值大于0，即可满足条件，利用函数的导数判断函数的单调性，结合a的取值讨论，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2ax由题意得f′（2）=0，解得a=3-------（2分）
经检验a=3满足条件------（3分）
f（x）=-x³+3x²-4，则f′（x）=-3x²+6x------（4分）
令f′（x）=0，则x=0，x=2（舍去）-------（5分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	0	↘	-4	↗	-2

------（7分）
∵关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴-4＜m≤-2------（8分）
（Ⅱ）由题意得，f（x）_max＞0即可
f（x）=-x³+ax²-4，f′（x）=-3x²+2ax=-3x（x-$\frac{2}{3}$a）
①若a≤0，则当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）=-4＜0∴当x＞0时，f（x）＜-4＜0
∴当a≤0时，不存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0-------（10分）
②当a＞0时f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，$\frac{2}{3}$a）	$\frac{2}{3}$a	（$\frac{2}{3}$a，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{4{a}^{3}}{27}$-4	↘

∴当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（$\frac{2}{3}$a）=$\frac{4{a}^{3}}{27}$-4
由$\frac{4{a}^{3}}{27}$-4＞0得a＞3--------（12分）
综上得a＞3．
另：第2小题可以分离参数，可按步得分．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大．