Question

3．若正数 x，y，z 满足 x+2y+3z=1，则$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$的最小值为9．

Answer 1

分析 原题意可转化为$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$=$\frac{（x+z）+2（y+z）}{x+z}$+$\frac{8（x+z）}{y+z}$=1+2[$\frac{y+z}{x+z}$+$\frac{4（x+z）}{y+z}$]．利用基本不等式即可求出．

解答 解：∵正数 x，y，z 满足 x+2y+3z=1，
∴（x+z）+2（y+z）=1，
∴$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$=$\frac{（x+z）+2（y+z）}{x+z}$+$\frac{8（x+z）}{y+z}$=1+2[$\frac{y+z}{x+z}$+$\frac{4（x+z）}{y+z}$]≥1+8=9，
当且仅当y+z=2（x+z）=$\frac{2}{5}$时取等号，
故$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$的最小值为9，
故答案为：9

点评 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．