Question

12．设k∈R，函数f（x）=lnx-kx．
（Ⅰ）若k=1，判断函数y=f（x）的单调性，并求函数的极值；
（Ⅱ）若f（x）无零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）当k＜0时，由f（1）f（e^k）＜0可知函数有零点，不符合题意；当k=0时，函数f（x）=lnx有唯一零点x=1有唯一零点，不符合题意；当k＞0时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可．

解答 解：（Ⅰ）k=1时，f（x）=lnx-x，f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）_极大值=f（1）=0；
（Ⅱ）①若k＜0时，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-k＞0，f（e^k）=k-ke^k=k（1-e^k）＜0，
∴f（1）•f（e^k）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点；
②若k=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1；
③若k＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{k}$，
在区间（0，$\frac{1}{k}$）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在区间（$\frac{1}{k}$，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（$\frac{1}{k}$）=ln$\frac{1}{k}$-1=-lnk-1，
由于f（x）无零点，须使f（$\frac{1}{k}$）=-lnk-1＜0，解得：k＞$\frac{1}{e}$，
故所求实数k的取值范围是（$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数的零点问题，是一道中档题．