Question

4．如图，四边形ABCD是正方形，PD∥MA，PD≠MA，PM⊥平面CDM．
（1）求证：平面ABCD⊥平面AMPD；
（2）判断直线BC、PM的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由PM⊥平面CDM得PM⊥CD，ABCD是正方形得CD⊥AD，从而证得CD⊥平面AMPD，即平面ABCD⊥平面AMPD；
（2）运用线面平行的判定和性质，即可得到直线BC、PM的位置关系为异面．

解答 解：（1）证明：∵PM⊥平面CDM，且CD?平面CDM，
∴PM⊥CD，
又∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
在梯形AMPD中，PM与AD相交，
∴CD⊥平面AMPD，
又∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AMPD；
（2）直线BC、PM的位置关系为异面．
由BC∥AD，BC?平面AMPD，AD?平面AMPD，
直线PM与直线AD相交，
BC与PM不相交，且BC∥平面AMPD，
则BC与PM不平行，则BC与PM异面．

点评 本题考查两平面垂直的判定，注意运用面面垂直的判定定理，关键是转化为线面垂直，考查两直线的位置关系，注意运用线面平行的判定和性质，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．