Question

9．设p：函数f（x）=lg（ax²$-x+\frac{1}{4}$a）的定义域为R；
q：函数f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$ 在（1，+∞）上单调递减．若命题p∧q为假．
求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p和命题q为真时，实数a的取值范围，进而可得命题p∧q为假时，实数a的取值范围．

解答 解：p：函数f（x）=lg（ax²$-x+\frac{1}{4}$a）的定义域为R；
故ax²$-x+\frac{1}{4}$a＞0恒成立，
若a=0，则-x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，要使不等式恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞1，
故p：a＞1；
q：f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$=1+$\frac{a+1}{x-1}$，
∵f（x）在（1，+∞）上单调递减
∴a+1＞0
即：∴a＞-1，
当p∧q为真命题时$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，
∴a＞2
∴当p∧q为假命题时a≤2．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，恒成立问题，反比例型函数的单调性，难度中档．