Question

17．已知 锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a²+b²=6abcosC，且sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB．
（1）求角C的值；
（2）设函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+cosωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求cosC=$\frac{{c}^{2}}{4ab}$，又由已知及正弦定理可得：c²=2$\sqrt{3}$ab，从而解得cosC，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（2）利用两角和的正弦函数公式可求f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求ω=2，则f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），可求范围$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，解得π$＜2A+\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解f（A）的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵a²+b²=6abcosC，由余弦定理可知：a²+b²=c²+2abcosC，
∴cosC=$\frac{{c}^{2}}{4ab}$，…2分
又∵sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB，由正弦定理可得：c²=2$\sqrt{3}$ab，…4分
∴cosC=$\frac{{c}^{2}}{4ab}$=$\frac{2\sqrt{3}ab}{4ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{6}$…6分
（2）∵f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+cosωx=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∴由已知$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，则f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），…9分
∵C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{5π}{6}$-A，又0$＜A＜\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，可得：$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴π$＜2A+\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜f（A）＜0…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．