Question

【题目】已知椭圆的两焦点分别为，其短半轴长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点.若直线与的斜率之和为，求实数的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)3.

【解析】

（1）根据题干条件得到a,b,c进而得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程得到二次方程，kHM+kHN，代入韦达定理,整理可得到结果.

（1）椭圆的两焦点分别为，c=, 短半轴长为,b=1, ,故得到曲线C的方程为：；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

由，消去y得，

37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，

由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，

可得﹣，

又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），

且直线HM与HN的斜率存在，

∴t≠±1，

又，，

∴kHM+kHN＝，

解得t＝3，

故t的值为3.