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在矩形中,以所在直线为轴,以中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.已知点的坐标为,E、F为的两个三等分点,交于点的外接圆为⊙

(1)求证:
(2)求⊙的方程;
(3)设点,过点P作直线与⊙交于M,N两点,若点M恰好是线段PN的中点,求实数的取值范围.
(1),根据
(2) .
(3)

试题分析:(1)由题意可知
所以直线和直线的方程分别为:
 解得 所以点的坐标为.     6分
所以
因为,所以,                8分
(2)由(1)知⊙的圆心为中点,半径为
所以⊙方程为 .               10分
(3) 设点的坐标为,则点的坐标为
因为点均在⊙上,所以
由②-①×4,得
所以点在直线,      12分
又因为点在⊙上,
所以圆心到直线的距离
 ,            14分

整理,得,即
所以,故的取值范围为.   16分

解法二:过
到直线的距离,则


又因为
所以,因为
所以,所以
解法三:因为,所以
所以,所以
点评:中档题,直线方程的考查中,点斜式是一重点考查内容。两直线垂直的条件是,斜率乘积为-1,或一条直线斜率为0,另一直线的斜率不存在。直线与圆的位置关系问题,往往利用“几何法”更为直观、简单。
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