Question

14．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大256；
（Ⅰ）求展开式中的所有无理项的系数和；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得2ⁿ=256，求出n的值，再利用二项展开式的通项公式得出无理项的系数和；
（Ⅱ）根据二项展开式求出展开项的系数最大时对应的项是什么．

解答 解：（Ⅰ）由条件得（1+1）ⁿ-（1-1）ⁿ=256，
即2ⁿ=256，∴n=8；
∴${（\sqrt{x}-\frac{1}{{x}^{2}}）}^{8}$的第r+1项为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{8-r}$•${（-\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$
=${C}_{8}^{r}$•（-1）^r•${x}^{4-\frac{5}{2}r}$，
其中r=0，1，2，…，8； …（4分）
由通项公式知当r=1，3，5，7时，T_r+1为无理项，
∴无理项的系数和为
-（${C}_{8}^{1}$+${C}_{8}^{3}$+${C}_{8}^{5}$+${C}_{8}^{7}$）=-128； …（8分）
（Ⅱ）当r=1，3，5，7时，展开项的系数为-${C}_{8}^{r}$；
当r=0，2，4，6，8时，展开项的系数为${C}_{8}^{r}$；
∴当r=4时，展开项的系数最大，
且系数最大的项为
T₄₊₁=${C}_{8}^{4}$•（-1）⁴•${x}^{4-\frac{5}{2}×4}$=70x^-6．  …（12分）

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用展开式的通项公式，是基础题目．