Question

2．已知动点P（x，y）及两定点A（-3，0）和B（3，0），若$\frac{|PA|}{|PB|}$=2，（|PA|、|PB|分别表示点P与点A、B的距离）
（1）求动点P的轨迹Γ方程．
（2）动点Q在直线y-x-1=0上，且QM、QN是轨迹Γ的两条切线，M、N是切点，C是轨迹Γ中心，求四边形OMCN面积的最小值及此时直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接列出方程，即可求动点P的轨迹Γ方程．
（2）由（1）知轨迹Γ是以C（5，0）为圆心，半径为4的圆，可得|QM|=|QN|，表示出四边形面积S，然后求出S_min=4$\sqrt{2}$．线段CQ为直径的圆的方程，以及直线MN的方程．

解答 解：（1）由|PA|=$\sqrt{{（x+3）}^{2}+{y}^{2}}$，$\left|PB\right|=\sqrt{{（x-3）}^{2}+{y}^{2}}$，代入$\frac{|PA|}{|PB|}$=2，
经化简得轨迹Γ方程为（x-5）²+y²=16．
（2）由（1）知轨迹Γ是以C（5，0）为圆心，半径为4的圆，|QM|=|QN|，
易知四边形面积S=$\frac{1}{2}$（|QM|+|QN|）×4=4|QM|，故|QM|最小时，四边形QMNC面积最小．
|QM|=$\sqrt{2}$
故有S_min=4$\sqrt{2}$．
此时CQ直线：x+y=5  由$\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ y-x=1\end{array}\right.$  得到Q（2，3），
以线段CQ为直径的圆的方程为：x²-7x+y²-3y+10=0．
两圆方程相减得到直线MN的方程为：3y-2x-1=0．

点评 本题考查直线方程的综合应用，在方程以及圆的方程的求法，考查计算能力．