【题目】已知函数,
在
和
处取得极值,且
,曲线
在
处的切线与直线
垂直.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)证明关于的方程
至多只有两个实数根(其中
是
的导函数,
是自然对数的底数).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求,根据韦达定理及
列出关于
的方程组,进而可得结果;(Ⅱ)圆方程等价于
,令
,研究函数
的单调性,讨论
与
两种情况分别证明即可.
试题解析:(Ⅰ) ,因为
在
和
处取得极值,
所以和
是方程
的两个根,则
,
,
又,则
,所以
.
由已知曲线在
处的切线与直线
垂直,所以可得
,
即,由此可得
解得
所以
(Ⅱ)对于,
(1)当时,得
,方程无实数根;
(2)当时,得
,令
,
,
当时,
;
当或
时,
;当
时,
.
∴的单调递减区间是
和
,单调递增区间是
,
函数在
和
处分别取得极小值和极大值.
,
,
对于,由于
恒成立,
且是与
轴有两个交点、开口向上的抛物线,
所以曲线与
轴有且只有两个交点,从而
无最大值,
.
若时
,直线
与曲线
至多有两个交点;
若
,直线
与曲线
只有一个交点;
综上所述,无论取何实数,方程
至多只有两实数根.
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【题目】某市地产数据研究所的数据显示,2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示,3月至7月房价上涨过快,政府从8月采取宏观调控措施,10月份开始房价得到很好的抑制.
(1)地产数据研究所发现,3月至7月的各月均价(万元/平方米)与月份
之间具有较强的线性相关关系,试求
关于
的回归方程;
(2)政府若不调控,依次相关关系预测第12月份该市新建住宅的销售均价.
参考数据: ,
,
;
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公示分别为:
,
.
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【题目】已知椭圆与抛物线
共焦点
,抛物线上的点M到y轴的距离等于
,且椭圆与抛物线的交点Q满足
.
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(II)过抛物线上的点作抛物线的切线
交椭圆于
、
两点,设线段AB的中点为
,求
的取值范围.
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【题目】已知定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)满足f(2)=0,且在(﹣∞,0)上是增函数;又定义行列式=a1a4﹣a2a3; 函数g(θ)=
(其中0≤θ≤
).
(1)证明:函数f(x)在(0,+∞)上也是增函数;
(2)若函数g(θ)的最大值为4,求m的值;
(3)若记集合M={m|任意的0≤θ≤ , g(θ)>0},N={m|任意的0≤θ≤
, f[g(θ)]<0},求M∩N.
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【题目】在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,﹣),(0,
)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A,B两点.
(1)写出C的方程;
(2)若⊥
, 求k的值.
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