Question

【题目】在直三棱柱中，为正三角形，点在棱上，且，点、分别为棱、的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，连接分别交、于点、，再连接，证明出，结合条件可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）取的中点，连接、，证明出平面，且，设等边三角形的边长为，并设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由得出的值，并计算出平面的法向量，利用空间向量法求出直线与平面所成的角的正弦值.

（1）如下图所示，连接，连接分别交、于点、，再连接，

、分别为、的中点，则，，则为的中点，

在直三棱柱中，，则四边形为平行四边形，

，为的中点，，，

，，

平面，平面，平面；

（2）取的中点，连接、，

四边形为平行四边形，则，

、分别为、的中点，，所以，四边形是平行四边形，

，在直三棱柱中，平面，平面，

是等边三角形，且点是的中点，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设的边长为，，则点、、、、、、，，，

，则，得，

，，.

设平面的法向量为，由，得.

令，可得，，所以，平面的一个法向量为，

，

因此，直线与平面所成的角的正弦值为.