Question

设向量

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，定义一种向量积

a

?

b

=(a1b1，a2b2)，已知

m

=(2，

1

2

)，

n

=(

π

3

，0)，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动．Q是函数y=f（x）图象上的点，且满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O为坐标原点），则当x∈[-

π

6

，

2π

3

]时，函数y=f（x）的值域是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：新定义,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：设P（x₀，y₀），则y₀=sinx₀，运用新定义，求得Q的轨迹方程，再由x的范围，求得

1

2

x-

π

6

的范围，再由正弦函数的单调性，即可得到值域．

解答： 解：设P（x₀，y₀），则y₀=sinx₀，
由新定义，可得，

OQ

=

m

?

OP

+

n

=（2x₀，

1

2

y₀）+（

π

3

，0）
=（2x₀+

π

3

，

1

2

y₀），
即有x=2x₀+

π

3

，且y=

1

2

y₀，
即有x₀=

1

2

x-

π

6

，y₀=2y，
则有y=

1

2

sin（

1

2

x-

π

6

），
由于x∈[-

π

6

，

2π

3

]，则有

1

2

x-

π

6

∈[-

π

4

，

π

6

]．
则有sin（

1

2

x-

π

6

）∈[-

2

2

，

1

2

]，
则f（x）∈[-

2

4

，

1

4

]．
故答案为：[-

2

4

，

1

4

]．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查向量的加法运算，考查三角函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．