Question

6．已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos2A+2sin²B+2sin²C-2$\sqrt{3}$sinBsinC=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，c=4，求△ABC的外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角余弦公式的变形化简已知的式子，利用正弦、余弦定理化简后求出cosA的值，根据内角的范围求出角A；
（2）由题意和余弦定理求出边a，利用正弦定理可求出△ABC的外接圆的半径，代入圆的面积公式求解即可．

解答 解：（1）∵cos2A+2sin²B+2sin²C-2$\sqrt{3}$sinBsinC=1，
∴1-2sin²A+2sin²B+2sin²C-2$\sqrt{3}$sinBsinC=1，
则-sin²A+sin²B+sin²C-$\sqrt{3}$sinBsinC=0，
由正弦定理得，$-{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}bc=0$，
∴$-{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=\sqrt{3}bc$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{6}$；
（2）设△ABC的外接圆的半径R，
∵b=$\sqrt{3}$，c=4，A=$\frac{π}{6}$，
∴由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA
=3+16-2×$\sqrt{3}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=7，则a=$\sqrt{7}$，
∴2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{7}$，则R=$\sqrt{7}$，
∴△ABC的外接圆的面积S=πR²=7π．

点评 本题考查正弦、余弦定理的综合应用，以及二倍角余弦公式的变形，属于中档题．