Question

15．已知函数f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）令g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{3}$），x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求g（x）的最值并求出相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数、余弦函数的奇偶性求得 cosθ=0，可得θ=$\frac{π}{2}$．再根据f（$\frac{π}{4}$）=0求得a的中．
（2）由条件利用两角和的正弦公式求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）的最值并求出相应的x的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）为奇函数为奇函数，
∴f-x）=-f（x），
即  （a+2cos²x）cos（-2x+θ）=-（a+2cos²x）cos（2x+θ），
∴cos（-2x+θ）=-cos（2x+θ），∴cos2xcosθ=0，求得 cosθ=0．
再结合θ∈（0，π），可得θ=$\frac{π}{2}$，∴f（x）=-（a+2cos²x）sin2x．
又f（$\frac{π}{4}$）=-（a+2cos²$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{2}$=0，∴a=-1．
（2）由 （1）有  f（x）=-（-1+2cos²x）sin2x=-cos2xsin2x=-$\frac{1}{2}$sin4x，
∴g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$sin4x-$\frac{1}{2}$sin4（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{1}{2}$sin（4x+$\frac{π}{3}$）
=-$\frac{1}{2}$sin4x=-$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{1}{2}$sin4xcos$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$cos4xsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{4}$sin4x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos4x=-$\frac{1}{2}$sin（4x-$\frac{π}{3}$）．
再根据x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得-$\frac{π}{3}$≤4x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
故当4x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，g（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$，此时，x=$\frac{5π}{24}$；
当4x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，g（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此时，x=0．

点评 本题主要考查正弦函数、余弦函数的奇偶性，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．