Question

5．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若BC=10m，AC=20m，∠BCM=45°，则tanθ的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）

Answer 1

分析 如图由点P向BC作垂线，连结AG，则∠PAG=θ，求得∠ACB，表示出tanθ的表达式，利用二次函数的性质确定最大值．

解答 解：如图由点P向BC作垂线，连结AG，则∠PAG=θ，
∵BC=10，AC=20，
∴∠ACB=60°，
AG=$\sqrt{C{G}^{2}+A{C}^{2}-2AC•CG•cos∠ACB}$=$\sqrt{C{G}^{2}+400-20•AG}$，
tanθ=$\frac{PG}{AG}$=$\frac{CG}{AG}$=$\sqrt{\frac{C{G}^{2}}{C{G}^{2}+400-20•CG}}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{400}{C{G}^{2}}-\frac{20}{CG}+1}}$，
∴当$\frac{1}{CG}$=$\frac{20}{2×400}$，即CG=40时，tanθ取最大值，
此时tanθ=$\frac{1600}{400+1600-800}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
即tanθ的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查解三角形问题的实际应用．解题的关键步骤是利用余弦定理表示出tanθ的表达式．