Question

13．过原点的直线MM′与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）分别交于点M和点M′，点F₂（1，0）是椭圆C的右焦点，且|MF₂|=1，|M′F₂|=3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过直线x=4上一点Q作椭圆C的切线，切点为P，求证：以PQ为直径的圆过定点N（1，0）

Answer 1

分析 （1）由已知得a²=b²+c²，c=1，2a=4，由此能求出椭圆C的方程；
（2）设PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀），得P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得Q（4，4k+m），证明k_PN•k_QN=$\frac{\frac{3}{m}}{-\frac{4k}{m}-1}$$•\frac{4k+m}{3}$=-1，即可得出以PQ为直径的圆经过点N（1，0）

解答 解：（1）由于点F₂（1，0）是椭圆C的右焦点，则椭圆的左焦点为F₁（-1，0）即c=1，
又由过原点的直线MM′与椭圆C分别交于点M和点M′，|MF₂|=1，|M′F₂|=3．
则|MF₂|=|M′F₁|=1，得到|M′F₁|+|M′F₂|=2a=4，即a=2．
则b²=4-1=3，故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0，
∴4k²-m²+3=0，①
此时x₀=$\frac{-4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{4k}{m}$，y₀=$\frac{3}{m}$，即P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得Q（4，4k+m），
∴k_PN•k_QN=$\frac{\frac{3}{m}}{-\frac{4k}{m}-1}$$•\frac{4k+m}{3}$=-1，
∴以PQ为直径的圆过定点N（1，0）．

点评 本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查以PQ为直径的圆经过点N的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．