Question

1．已知圆C：x²+y²=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，
（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；
（2）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意设所求方程为3x+4y+a=0，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r求出a的值，即可确定出所求直线方程；
（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，如图所示，求出|AB|与|MN|的长，即可确定出△PAB面积的最大值．

解答 解：（1）设所求直线方程为3x+4y+a=0，
由题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，即$\frac{|a|}{5}$=2，
解得：a=±10，
则所求直线方程为3x+4y±10=0；
（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，
此时直线方程为3x+4y-10=0，
∵点C到直线AB的距离|CN|=$\frac{12}{5}$，CM=2，
∴|MN|=$\frac{12}{5}$+2=$\frac{22}{5}$，
∵A（-4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴|AB|=5，
则△PAB面积最大值为$\frac{1}{2}$×5×$\frac{22}{5}$=11．

点评 此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线平行时斜率的关系，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．