Question

1．已知圆x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M（4，8），过M作圆的割线交圆于A、B两点，且|AB|=4，求AB的方程．

Answer 1

分析 由条件求得圆心P（2，-1）到直线AB的距离等于2，用点斜式设出设AB的方程，由弦心距d=$\frac{|2k+1-4k+8|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k的值，可得直线AB的方程．

解答 解：当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，代入圆P：x²+y²-4x+2y-3=0，解得y=-3，1，此时弦长为4，符合题意；
当直线斜率存在时，圆P：x²+y²-4x+2y-3=0，即（ x-2）²+（y+1）²=8，由于弦长AB=4，
可得弦心距d=2，即圆心P（2，-1）到直线AB的距离等于2．
设AB的方程为y-8=k（x-4），即 kx-y-4k+8=0，由d=$\frac{|2k+1-4k+8|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=$\frac{77}{36}$，
故AB的方程为77x-36y-20=0，
综上，符合条件的直线方程为77x-36y-20=0或x=4．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于基础题．