Question

11．数列{a_n}的首项为a₁=1，数列{b_n}为等比数列且${b}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，若${b}_{10}{b}_{11}=\root{5}{2}$则a₂₁=4．

Answer 1

分析 由已知结合${b}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，得到a₂₁=b₁b₂…b₂₀，结合${b}_{10}{b}_{11}=\root{5}{2}$及等比数列的性质求得a₂₁．

解答 解：由已知结合b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，a₁=1，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a₂．
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，a₃=a₂b₂=b₁b₂．
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，a₄=a₃b₃=b₁b₂b₃．
…
a_n=b₁b₂…b_n-1．
∴a₂₁=b₁b₂…b₂₀．
∵数列{b_n}为等比数列，
∴a₂₁=（b₁b₂₀）（b₂b₁₉）…（b₁₀b₁₁）=（b₁₀b₁₁）¹⁰=（$\root{5}{2}$）¹⁰=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，根据条件转化为等比数列是解决本题的关键．