Question

12．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤．但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元．现该农民有400元，怎样安排才能获得最大利润？最大利润为多少？

Answer 1

分析 先设该农民种x亩水稻，y亩花生时，能获得利润z元，根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，目标函数表示直线在y轴上的截距的420倍，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可

解答 解：设该农民种x亩水稻，y亩花生时，能获得利润z元．
则z=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y
即y=-$\frac{16}{7}$x+$\frac{z}{420}$…（2分）$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{240x+80y≤400}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$
即  $\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{3x+y≤5}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$…（4分）
作出可行域如图阴影部分所示，…（8分）
作出基准直线y=-$\frac{16}{7}$x，在可行域内平移直线y=-$\frac{16}{7}$x+$\frac{z}{420}$，
可知当直线过点B时，纵截距有最大值，…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{3x+y=5}\end{array}\right.$解得B（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），…（12分）
故当x=1.5，y=0.5时，z_max=1650元，…（13分）
答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．

点评 本题主要考查了简单的线性规划在实际生活中的应用，以及利用几何意义求最值．在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域②求出可行域各个角点的坐标③将坐标逐一代入目标函数④验证，求出最优解．