Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为A₁B₁的中点，则下列五个命题：
①点E到平面ABC₁D₁的距离为

1

2

；
②直线BC与平面ABC₁D₁所成的角为45°；
③空间四边形ABCD₁在正方体六个面内形成的六个射影平面图形，其中面积最小值是

1

2

；
④AE与DC₁所成的角的余弦值为

3 10

10

；
⑤二面角A-BD₁-C的大小为

5π

6

．
其中真命题是______．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

①由于A₁B₁∥平面ABC₁D₁，
故B₁到平面ABC₁D₁的距离即点E到平面ABC₁D₁的距离，
连接B₁C交BC₁于F，则易得B₁F垂直于平面ABC₁D₁，
而B₁F=

2

2

，故点E到平面ABC₁D₁的距离为

2

2

，
故①错；
②易得B₁C垂直于平面ABC₁D₁，
故∠CBC₁为直线BC与平面ABC₁D₁所成的角，
且为45°，故②正确；
③易得空间四边形ABCD₁在正方体的面ABCD、
面A₁B₁C₁D₁内的射影面积为1，在面BB₁C₁C内、面AA₁D₁D内的射影面积为

1

2

，在面ABB₁A₁内、面CC₁D₁D内的射影面积为

1

2

，故③正确；
④连接AB₁，则∠EAB₁为AE与DC₁所成的角，由余弦定理得，cos∠EAB₁=

2+ 5 4 - 1 4

2× 2 × 5 2

=

3 10

10

，故④正确；
⑤在直角三角形BAD₁中过A作AH垂直于BD₁，连接CH，易知CH垂直于BD₁，故∠AHC是二面角A-BD₁-C的平面角，由余弦定理得，cos∠AHC=

2 3 + 2 3 -2

2× 6 3 × 6 3

=-

1

2

，故∠AHC=

2π

3

，故⑤错．
故答案为：②③④