Question

【题目】已知半径为 ，圆心在直线l1：x﹣y+1=0上的圆C与直线l2： x﹣y+1﹣ =0相交于M，N两点，且|MN|=
（1）求圆C的标准方程；
（2）当圆心C的横、纵坐标均为整数时，若对任意m∈R，直线l3：mx﹣y+ +1=0与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，设C（a，a+1），圆心到直线的距离d= = ，

∴a=0或3+ ，

∴圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=5或（x﹣3﹣ ）2+（y﹣4﹣ ）2=5；

（2）解：圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=5，对任意m∈R，

直线l3：mx﹣y+ +1=0与圆C恒有公共点，

∴ ≤ ，

∴0≤a≤5（m2+1），∴0≤a≤5．

【解析】（1）由题意，设C（a，a+1），圆心到直线的距离d= = ，求出a，可得圆C的标准方程；（2）圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=5，对任意m∈R，直线l3：mx﹣y+ +1=0与圆C恒有公共点， ≤ ，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】掌握直线与圆的三种位置关系是解答本题的根本，需要知道直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．