Question

【题目】已知A为椭圆 =1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1 ， F2 ， 且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2= ． （Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设 ，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形． 因为cos∠F1AF2= ，所以|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|= ，
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，
则4 =2a，即a2=2b2=2（a2﹣c2），即a2=2c2 ，
即有e= = ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2 ， 焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0 ， y0），B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），
则直线AC的方程为y= （x﹣b），代入椭圆方程得
（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0，
可得y0y2=﹣ ，又λ2= = = ，
同理λ1= ，可得λ1+λ2=6；（2）若AC⊥x轴，则λ2=1，λ1= =5，这时λ1+λ2=6；
若AB⊥x轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6；
综上所述，λ1+λ2是定值6．
【解析】（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|= ，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2 ， 焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0 ， y0），B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x轴，若AB⊥x轴，计算即可得到所求定值．