Question

18．已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为$\frac{π}{4}$，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C的极坐标方程为$ρ=2cosθ+\frac{3}{ρ}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程转为ρ²=2ρcosθ+3，将ρ²=x²+y²，ρcosθ=x代入，能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过定点P（1，1），且倾斜角为$\frac{π}{4}$，能求出直线l的参数方程．
（2）将直线l的参数方程代入x²+y²-2x-3=0，得${t}^{2}+\sqrt{2}t-3=0$，设方程两根分别为t₁，t₂，利用韦达定理及弦长公式能求出|AB|及|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为$ρ=2cosθ+\frac{3}{ρ}$，
∴ρ²=2ρcosθ+3，
将ρ²=x²+y²，ρcosθ=x代入，得x²+y²=2x+3，即x²+y²-2x-3=0．
∵直线l过定点P（1，1），且倾斜角为$\frac{π}{4}$，
则直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）将直线l的参数方程代入x²+y²-2x-3=0，得${t}^{2}+\sqrt{2}t-3=0$，
设方程两根分别为t₁，t₂，则$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴AB的长|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2+12}$=$\sqrt{14}$，
|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

点评 本题考查曲线的直角坐标坐标方程、直线的参数方程的求法，考查线段落长及两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．