Question

7．设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a=5csinA，cosB=-$\frac{5}{13}$．
（1）求sinA的值；
（2）设△ABC的面积为$\frac{33}{2}$，求b．

Answer 1

分析 （1）cosB=-$\frac{5}{13}$，B为钝角，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．由3a=5csinA，由正弦定理可得：3sinA=5sinCsinA，sinA≠0，可得sinC=$\frac{3}{5}$，cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$．可得sinA=sin（B+C）．
（2）利用正弦定理可得△ABC的面积为$\frac{33}{2}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}$×$\frac{bsinA}{sinB}$×$\frac{bsinC}{sinB}$×sinB．

解答 解：（1）∵cosB=-$\frac{5}{13}$，∴B为钝角，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$．
∵3a=5csinA，由正弦定理可得：3sinA=5sinCsinA，sinA≠0，
可得sinC=$\frac{3}{5}$，cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$-$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$=$\frac{33}{65}$．
（2）$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$，c=$\frac{bsinC}{sinB}$．
△ABC的面积为$\frac{33}{2}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}$×$\frac{bsinA}{sinB}$×$\frac{bsinC}{sinB}$×sinB=$\frac{{b}^{2}}{2}$×$\frac{\frac{33}{65}×\frac{3}{5}}{\frac{12}{13}}$，
解得b=10．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．