Question

9．如图，AB是圆O的直径，P是线段AB延长线上一点，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交线段AC的延长线于点E，交线段AD的延长线于点F，且PE•PF=5，PB=$\frac{1}{2}$OA．
（1）求证：C，D，E，F四点共圆；
（2）求圆O的面积．

Answer 1

分析 （1）连结BD，AB是圆O的直径，可得∠BDA=90°，由同弧所对圆周角相等可得∠CDB=∠CAB，证得∠PEC=∠PDF，即可得到四点共圆；
（2）设出圆O的半径为r，利用割线定理，解方程可得r=2，再由圆的面积公式计算即可得到所求值．

解答 （1）证明：连结BD，AB是圆O的直径，
直径所对圆周角为直角可得∠BDA=90°，
由同弧所对圆周角相等，可得∠CDB=∠CAB，
又∠PEC=90°-∠CAB，
∠PDF=90°-∠CDB，
可得：∠PEC=∠PDF，
故D，C，E，F四点共圆；
（2）解：设圆O的半径为r，
由圆的割线定理可得，
PE•PF=PC•PD=PB•PA=$\frac{1}{2}$r（2r+$\frac{1}{2}$r）=5，
解得r=2，
可得圆O的面积为4π．

点评 本题考查四点共圆的证明，注意运用圆的同弧所对圆周角相等，以及直径所对圆周角为直角，考查割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．