Question

20．如图，在△ABC中，CA=2，CB=1，CD是AB边上的中线．
（Ⅰ）求证：sin∠BCD=2sin∠ACD；
（Ⅱ）若∠ACD=30°，求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△DBC中，由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠CDB}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠CDA}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，
sin∠ADC=sin∠BDC，AD=DB，AC=2BC，得sin∠BCD=2sin∠ACD；
（Ⅱ）由sin∠BCD=2sin∠ACD=1，得∠BCD=90°，∠ACB=120°，
在△ABC中由余弦定理求得AB

解答 解：（Ⅰ）在△DBC中，由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠CDB}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠CDA}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，
即BCsin∠BCD=DBsin∠CBD，ACsin∠ACD=ADsin∠CDA．
∵sin∠ADC=sin∠BDC
又∵CD是AB边上的中线且AC=2BC，∴sin∠BCD=2sin∠ACD；
（Ⅱ）∵∠ACD=30°，由（Ⅰ）sin∠BCD=2sin∠ACD=1，即∠BCD=90°，∴∠ACB=120°，
由余弦定理$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}-2AC•BCcos∠ACB}=\sqrt{4+1+2}=\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．