Question

11．一幅广告印刷品的画面（矩形，如图①阴影部分）面积6m²，它的两边都留有宽为0.15m的空白，顶部和底部都留有宽为0.1m的空白
（1）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的用量最少？
（2）如图②，将此广告张贴在墙上，其画面（不包含空白）的最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m，若从地面1.5m的C处观赏它，则离墙多远是，视角θ最大？

Answer 1

分析 （1）设纸张的长和宽，表示出纸张的面积，利用基本不等式求最值，即可得到结论．
（2）过C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=xm，则θ=∠ACD-∠BCD，利用差角的正切公式，我们可以求得tanθ=$\frac{2}{x+\frac{\frac{5}{4}}{x}}$，利用基本不等式可得结论．

解答 解：（1）设纸张的长和宽分别是x，y，则xy=6
纸张的面积为：S=（y+0.2（x+0.3）
=xy+0.2x+0.3y+0.06≥xy+2$\sqrt{0.06xy}$+0.06
当且仅当0.2x=0.3y，即x=2，y=3时，
S有最小值6+$\sqrt{0.06}$，
此时纸张的长和宽分别为2m，3m；
（2）由题意，过C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD=xm，则θ=∠ACD-∠BCD
∴tanθ=tan（∠ACD-∠BCD）=$\frac{\frac{2.5}{x}-\frac{0.5}{x}}{1+\frac{2.5}{x}×\frac{0.5}{x}}$=$\frac{2}{x+\frac{\frac{5}{4}}{x}}$，
∵x＞0，∴tanθ≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
∴当且仅当x=$\frac{\frac{5}{4}}{x}$，即x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m时，tanθ最大，即视角最大，
∴离墙$\frac{\sqrt{5}}{2}$m时tanθ最大，此时视角最大．

点评 本题考查函数模型的构建，考查差角的正切函数公式，考查利用基本不等式求最值，解题的关键是利用差角的正切函数公式构建函数模型．