Question

16．对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下结论：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
②f（x₁•x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
③f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$；
④$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0；
⑤当1＜x₁＜x₂时$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}-1}＞\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}-1}$；
当f（x）=${（\frac{3}{2}）}^{x}$时，上述结论中正确结论的序号是①④⑤．

Answer 1

分析 利用函数的性质验证命题的真假即可．

解答 解：当f（x）=${（\frac{3}{2}）}^{x}$时，
①f（x₁+x₂）=$（\frac{3}{2}）^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$（\frac{3}{2}）^{{x}_{1}}•（\frac{3}{2}）^{{x}_{2}}$=f（x₁）•f（x₂），①正确；
②f（x₁•x₂）=$（\frac{3}{2}）^{{x}_{1}{x}_{2}}$≠f（x₁）+f（x₂），不正确；
③f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$，说明函数是凸函数，而f（x）=${（\frac{3}{2}）}^{x}$是凹函数，所以不正确；
④$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0，说明函数是增函数，而f（x）=${（\frac{3}{2}）}^{x}$是增函数，所以正确；
⑤当1＜x₁＜x₂时$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}-1}＞\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}-1}$．说明函数与（1，0）连线的斜率在减少，所以正确；
故答案为①④⑤．

点评 本题考查函数的基本性质的应用，考查命题的真假的判断，是基础题．