Question

5．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是$\frac{1}{2}$外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是$\frac{2}{3}$．假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．

Answer 1

分析 （1）由题意知，各局比赛结果相互独立，求出对应的概率值即可；
（2）由题意知，随机变量X的所有可能的取值，根据事件的互斥性计算概率值，从而写出X的分布列．

解答 解：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件A₁，
“甲队以3：1胜利”为事件A₂，
“甲队以3：2胜利”为事件A₃，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P（A₁）=${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（A₂）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•（1-$\frac{2}{3}$）•$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（A₃）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${（1-\frac{2}{3}）}^{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{27}$；
所以甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为$\frac{8}{27}$，
以3：2胜利的概率为$\frac{4}{27}$；
（2）设“乙队以3：2胜利”为事件A₄，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P（A₄）=${C}_{4}^{2}$•${（1-\frac{2}{3}）}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{27}$；
由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，
根据事件的互斥性得
P（X=0）=P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=$\frac{16}{27}$；
又P（X=1）=P（A₃）=$\frac{4}{27}$，
P（X=2）=P（A₄）=$\frac{4}{27}$，
P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=$\frac{3}{27}$，
故X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{16}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{3}{27}$

点评 本题考查了相互独立性事件的概率计算与分布列问题，是综合题．