Question

15．设函数$f（x）=4sinx•{sin^2}（{\frac{π}{4}+\frac{x}{2}}）+cos2x$，若|f（x）-m|＜2成立的充分条件是$\frac{π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，则实数m的取值范围为（0，5）．

Answer 1

分析 利用倍角公式、诱导公式化简f（x），利用其单调性可得f（x）的值域，再利用绝对值不等式的解法即可得出．

解答 解：函数$f（x）=4sinx•{sin^2}（{\frac{π}{4}+\frac{x}{2}}）+cos2x$
=4sinx•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+x）}{2}$+cos2x=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x=2sinx+1，
∵$\frac{π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，∴sinx∈$[\frac{1}{2}，1]$，∴f（x）∈[2，3]．
∵|f（x）-m|＜2成立的充分条件是$\frac{π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2，即0＜m＜5．
则实数m的取值范围为（0，5）．
故答案为：（0，5）．

点评 本题考查了倍角公式、诱导公式、三角函数的单调性、绝对值不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．