【题目】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)如果当,且
时,
恒成立,求实数
的范围.
【答案】(1)的单调递增区间
和
;
的单调递减区间
.
(2)实数的取值范围是
.
【解析】分析:(1)求出函数的导数,对分
和
两种情况讨论,即可得到函数的单调性;
(2)由题意把式子化为
,设
,
由(1)的结论,即可求解实数的取值范围;或把
可化为
,设
,求得
得出函数的单调性,令洛必达法则求解.
详解:(1)定义域为,
,
设,
,
①当时,对称轴
,
,所以
,
在
上是增函数,
②当时,
,所以
,
在
上是增函数,
③当时,令
得
,
,
令,解得
,
;令
,解得
,
所以的单调递增区间
和
;
的单调递减区间
.
(2)可化为
,设
,
由(1)知:
①当时,
在
上是增函数,若
时,
;
所以,
若时,
,所以
,所以,当
时,
式成立.
②当时,
在
是减函数,所以
式不成立,
综上,实数的取值范围是
.
解法二:可化为
,设
,
,
令,
,
,
,
;
,
;
,
在
上,又
,
,
,
,
;
所以,
;
,
;
在
,
,
由洛必达法则
,所以
.
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【题目】据监测,在海滨某城市附近的海面有一台风. 台风中心位于城市的东偏南
方向、距离城市
的海面
处,并以
的速度向西偏北
方向移动(如图示).如果台风侵袭范围为圆形区域,半径
,台风移动的方向与速度不变,那么该城市受台风侵袭的时长为_____ .
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【题目】从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
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【题目】下列命题中,正确的命题的序号为__________.
①已知随机变量服从二项分布,若
,
,则
;
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;
③设随机变量服从正态分布
,若
,则
;
④某人在次射击中,击中目标的次数为
,
,则当
时概率最大.
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【题目】某家具厂有方木料90 ,五合板600
,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1
,五合板2
,生产每个书橱需要方木料0.2
,五合板1
,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.请问怎样安排生产可使所得利润最大?
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【题目】设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(,
)
C. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg
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【题目】2002年北京国际数学家大会会标,是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的,弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图
,若大、小正方形的面积分别为25和1,直角三角形中较大锐角为
,则
等于
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ .
(1)若0<α< ,且sinα=
,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
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