Question

有以下四个命题：
①对于任意实数a、b、c，若a＞b，c≠0，则ac＞bc；
②设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₂+a₆+a₁₀为一个确定的常数，则S₁₁也是一个确定的常数；
③在三角形△ABC中，若sinA＞sinB，恒有A＞B；
④对于任意正实数x，若sinx＞0，y=sinx+

2

sinx

，则y的最小值为2

2

．
其中正确命题的是

 

（把正确的答案题号填在横线上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①根据不等式的基本性质可以判定命题①错误；
②等差数列{a_n}中，a₂+a₆+a₁₀=k为常数时，可得a₆为常数，即S₁₁为常数，判定命题②正确；
③△ABC中，A＞B等价于a＞b，结合正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

知，判定命题③正确；
④由|sinx|≤1，当sinx＞0时，求出y=sinx+

2

sinx

的最小值，判定命题④错误．

解答： 解：对于①，根据不等式的基本性质得，
当c＞0时，ac＞bc，c＜0时，ac＜bc，∴命题①错误；
对于②，等差数列{a_n}中，设a₂+a₆+a₁₀=k（k是常数），
∴a₆=

k

3

，∴S₁₁=11×

k

3

=

11k

3

为常数，∴命题②正确；
对于③，△ABC中，A＞B等价于a＞b，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

知，若A＞B，则a＞b，∴sinA＞sinB；
若sinA＞sinB，则a＞b，∴A＞B；∴命题③正确；
对于④，∵|sinx|≤1，当sinx＞0时，
y=sinx+

2

sinx

的最小值为1+2=3，∴命题④错误．
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了不等式的基本性质，等差数列的应用，正弦定理的应用以及求函数的最小值等知识，是综合性题目．