Question

函数f（x）=

ax2+(2a-1)x+ 1 4

的定义域为R，且记f（x）的最小值为g（a），则当a变化时，函数g（a）的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：通过配方法将函数的被开方数写成二次函数的顶点式，求出y的最小值为g（a），借助a的范围求出g（a）的值域．

解答： 解：依题意，当x∈R时，ax²+（2a-1）x+

1

4

恒成立．当a=0时，x∉R，
∴a≠0，
∴

a＞0 (2a-1)2-4a× 1 4 ≤0

解得，

1

4

≤a≤1，
∴f（x）=

ax2+(2a-1)x+ 1 4

=

a(x-1+ 1 2a )2+ 1 4 - (2a-1)2 4a

∴y_min=

1 4 - (2a-1)2 4a

，
因此，g（a）=

1 4 - (2a-1)2 4a

=

5 4 -(4a+ 1 4a )

≤

5 4 +2 4a• 1 4a

=

13

2

，当且仅当a=

1

4

取等号，
故函数g（a）的值域为[0，

13

2

]
故答案为：[0，

13

2

]

点评：本题考查偶次根式的定义域的求解，考查不等式恒成立问题的解决办法，关键要进行等价转化，利用基本不等式求值域是本题的另一个命题点．