【题目】已知点F1为椭圆E:(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形,直线
与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.
【答案】(1);(2)[
,1).
【解析】
(1)由已知为等腰直角三角形可知
,直线和椭圆相切方程联立,判别式为0,即可求得
,进而得出结果;
(2)由(1)求得坐标,得到
的值,当直线
与
轴垂直时,直接由
,求得λ值;当直线
与
轴不垂直时,设直线
的方程为y=kx+3,联立直线方程与椭圆方程,利用判别式大于0求得
的取值范围,再由根与系数的关系,结合
,把λ用含有
的表达式表示,则实数λ的取值范围可求.
解:⑴∵为等腰直角三角形 ∴
,则椭圆E方程化为:
由得
∵直线与椭圆E有且仅有一个交点M. ∴
,即
∴椭圆E方程为:
⑵由(1)得M,直线
与y轴交于P
,
方法一:①当直线l与x轴垂直时,|PA|·|PB|=(3+)×(3-
)=6,
∴
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得
,
,即
,x1x2=
∴|PA|·|PB|=
=
∵ ∴
,即
,则
综上所述,λ的取值范围是[,1).
方法二:设直线l的参数方程为(t为参数),
代入椭圆E的方程得,
,即
设A,B对应的参数分别为,
,则
∴|PA|·|PB|=
∵∴
,即
,则
综上所述,λ的取值范围是[,1).
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(m为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(1)求曲线C和直线的直角坐标系方程;
(2)已知直线
与曲线C相交于A,B两点,求
的值.
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【题目】某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为,求
的分布列及数学期望和方差.
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【题目】如图所示的几何体中,四边形
为菱形,
,
,
,
,平面
平面
,
,
为
的中点,
为平面
内任一点.
(1)在平面内,过
点是否存在直线
使
?如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法;
(2)过,
,
三点的平面将几何体
截去三棱锥
,求剩余几何体
的体积.
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【题目】如图,已知为抛物线
上一点,斜率分别为
,
的直线PA,PB分别交抛物线于点A,B(不与点P重合).
(1)证明:直线AB的斜率为定值;
(2)若△ABP的内切圆半径为.
(i)求△ABP的周长(用k表示);
(ii)求直线AB的方程.
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【题目】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示,该基地周光照量(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的有5周,不低于50小时且不超过70小时的有35周,超过70小时的有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量
(千克)与使用某种液体肥料的质量
(千克)之间的关系如图所示.
(1)依据上图,是否可用线性回归模型拟合与
的关系?请计算相关系数
并加以说明(精确到0.01).(若
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制,并有如下关系:
周光照量 | |||
光照控制仪运行台数 | 3 | 2 | 1 |
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
附:相关系数公式,
参考数据:,
.
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【题目】若直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为
(
为参数).
若曲线上存在M,N两点关于直线l对称,求实数m的值;
若直线与曲线相交于P,Q两点,且
,求实数m的取值范围.
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