Question

【题目】若，则定义直线为曲线，的“分界直线”．已知，则的“分界直线”为____．

Answer 1

【答案】y=x-1

【解析】

求得f（x），g（x）的交点（1，0），可得所求直线过（1，0），即b＝﹣k，由kx﹣k（x）在x＞1恒成立，运用判别式小于等于0，化简可得k＝1，可得直线方程为y＝x﹣1，再证x﹣1≤xlnx在x≥1恒成立，通过函数y＝xlnx﹣x+1，求得导数，判断单调性，即可得到所求结论．

由f（1）＝ln1＝0，g（1）（1﹣1）＝0，

则f（x），g（x）的图象存在交点（1，0），

且f（x），g（x）在[1，+∞）递增，

可得直线y＝kx+b必过（1，0），即b＝﹣k，

由kx+b≥g（x），即kx﹣k（x）在x＞1恒成立，

即有（2k﹣1）x2﹣2kx+1≥0，

可得2k﹣1＞0，且△＝4k2﹣4（2k﹣1）≤0，

解得k＝1，

即有直线方程为y＝x﹣1，

下面证明x﹣1≤xlnx在x≥1恒成立，

由y＝xlnx﹣x+1的导数为y′＝1+lnx﹣1＝lnx，

由x≥1可得lnx≥0，即有函数y＝xlnx﹣x+1在x≥1递增，

可得xlnx≥x﹣1在x≥1恒成立，

则f（x），g（x）的“分界直线”为y＝x﹣1．

故答案为：y＝x﹣1．