Question

11．设f_n（x）=$\sum_{i=1}^{n}$|x-i|，n∈N*．
（1）解不等式：f₂（x）＜x+1；
（2）求f₅（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得，|x-1|+|x-5|得最小值，|x-2|+|x-4|得最小值，|x-3|的最小值，可得f₅（x）的最小值．

解答 解：（1）不等式f₂（x）＜x+1，即|x-1|+|x-2|＜x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+2-x＜x+1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x-1+（2-x）＜x+1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-1+x-2＜x+1}\end{array}\right.$ ③．
解①求得$\frac{2}{3}$＜x＜1，解②求得1≤x≤2，解③求得2≤x＜4．
综上可得，不等式的解集为{x|$\frac{2}{3}$＜x＜4}．
（2）∵f₅（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|，
∵|x-1|+|x-5|≥|x-1-（x-5）|=4，当且仅当1≤x≤5时，取等号，即当x∈[1，5]时，|x-1|+|x-5|≥取得最小值为4；
|x-2|+|x-4|≥|x-2-（x-4）|=2，当且仅当2≤x≤4时，取等号，即当x∈[2，4]时，|x-2|+|x-4|≥取得最小值为2；
对于|x-3|．只有当x=3时，取得最小值为0．
综上可得，只有当x=3时，f₅（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|取得最小值为4+2+0=6．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，求函数的最值，属于中档题．