Question

20．（1）用分析法证明：$\sqrt{2}$+$\sqrt{11}$＜$\sqrt{3}$+$\sqrt{10}$；
（2）用反证法证明：三个数a，2a²-l，a+l中，至少有一个大于或等于-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）两边平方，寻找使不等式成立的充分条件即可；
（2）假设结论不成立，列出不等式组得出矛盾．

解答 证明：（1）要证：$\sqrt{2}$+$\sqrt{11}$＜$\sqrt{3}$+$\sqrt{10}$，
只需证：（$\sqrt{2}+\sqrt{11}$）²＜（$\sqrt{3}+\sqrt{10}$）²，
即证：13+2$\sqrt{22}$＜13+2$\sqrt{30}$，
只需证：$\sqrt{22}$＜$\sqrt{30}$，
只需证：22＜30，
显然22＜30恒成立，
∴$\sqrt{2}$+$\sqrt{11}$＜$\sqrt{3}$+$\sqrt{10}$．
（2）假设三个数a，2a²-1，a+1都小于-$\frac{1}{6}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{6}}\\{2{a}^{2}-1＜-\frac{1}{6}}\\{a+1＜-\frac{1}{6}}\end{array}\right.$，不等式组无解，
∴三个数a，2a²-l，a+l中，至少有一个大于或等于-$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了分析法，反证法证明，属于中档题．