Question

定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），且其导函数f′（x）满足

f′(x)

2-x

＞0，则当2＜a＜4时f（2^a），f（2），f（log₂a）的大小关系为

 

．

Answer 1

分析：先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log₂a、2^a的大小关系，根据单调性比较f（2）、f（log₂a）、f（2^a）的大小即可．

解答：解：∵函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2
∵导函数f′（x）满足

f′(x)

2-x

＞0，，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，（-∞，2）上单调递增
∵2＜a＜4
∴2＜log₂a＜2^a
∴f（2）＞f（log₂a）＞f（2^a），
故答案为：f（2^a）＜f（log₂a）＜f（2）．

点评：本题主要考查了导数的运算，以及奇偶函数图象的对称性和比较大小，同时考查了数形结合的思想，该题有一定的思维量，属于基础题之列．