Question

11．已知$\frac{3π}{4}$＜α＜π，$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$=-$\frac{10}{3}$，则$\frac{5si{n}^{2}\frac{α}{2}+8sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+11co{s}^{2}\frac{α}{2}-8}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{2}）}$的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{6}$
• C． -$\frac{5\sqrt{2}}{6}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 由已知求出tanα，利用三角函数中的恒等变换应用化简$\frac{5si{n}^{2}\frac{α}{2}+8sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+11co{s}^{2}\frac{α}{2}-8}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{2}）}$，进一步转化为正切得答案．

解答 解：由$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$=-$\frac{10}{3}$，得$tanα+\frac{1}{tanα}=-\frac{10}{3}$，
即3tan²α+10tanα+3=0，
解得tanα=-3或tanα=$-\frac{1}{3}$，
∵$\frac{3π}{4}$＜α＜π，∴tanα=$-\frac{1}{3}$，
则$\frac{5si{n}^{2}\frac{α}{2}+8sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+11co{s}^{2}\frac{α}{2}-8}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{2}）}$
=$\frac{5×\frac{1-cosα}{2}+4sinα+11×\frac{1+cosα}{2}-8}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{8-\frac{5}{2}cosα+4sinα+\frac{11}{2}cosα-8}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{4sinα+3cosα}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{4tanα+3}{-\sqrt{2}}$
=$\frac{4×（-\frac{1}{3}）+3}{-\sqrt{2}}$
=-$\frac{5\sqrt{2}}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了三角函数中的恒等变换应用，是中档题．