【题目】已知直线L:kx-y+1+2k=0.
(1)求证:直线L过定点;
(2)若直线L交x轴负半轴于点A,交y正半轴于点B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线L的方程.
【答案】(1)定点(-2,1); (2) x-2y+4=0.
【解析】
试题分析:(1)由直线系方程: 恒过两直线:
与
的交点可知:只需将直线L的方程改写成:
知直线L恒过直线
与
的交点(-2,1),从而问题得证;(2)先用k将点A和点B的坐标表示出来,由直线L交x轴负半轴于点A,交y正半轴于点B知:k>0;然后再用含k的代数式将△AOB的面积为S表达出来,得到S是k的函数,再利用基本不等式就可求得使S取得最小值对应的k的值,从而就可写出直线L的方程.
试题解析:(1)证明:由已知得: k(x+2)+(1-y)=0, 3分
令 x+2=0 , 1-y=0
得: x=-2 , y=1
∴无论k取何值,直线过定点(-2,1) 5分
(2)解:令y=0得:A点坐标为
令x=0得:B点坐标为(0,2k+1)(k>0), 7分
∴S△AOB=
|2k+1|=
(2k+1)
=≥
(4+4)=4 .10分
当且仅当4k=,即k=
时取等号.
即△AOB的面积的最小值为4,此时直线l的方程为x-y+1+1=0,
即 x-2y+4=0. 12分
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【题目】已知函数f(x)= sin(2x+
),其中x∈R,下列结论中正确的是( )
A.f(x)是最小正周期为π的偶函数
B.f(x)的一条对称轴是
C.f(x)的最大值为2
D.将函数 的图象向左平移
个单位得到函数f(x)的图象
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【题目】在一次公里的自行车个人赛中,25名参赛选手的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示:
(1)现将参赛选手按成绩由好到差编为1~25号,再用系统抽样方法从中选取5人,已知选手甲的成绩为85分钟,若甲被选取,求被选取的其余4名选手的成绩的平均数;
(2)若从总体中选取一个样本,使得该样本的平均水平与总体相同,且样本的方差不大于7,则称选取的样本具有集中代表性,试从总体(25名参赛选手的成绩)选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样本,并求该样本的方差.
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【题目】如图,四边形中,
,
,
,
,
,
分别在
上,
,现将四边形
沿
折起,使得平面
平面
.
(1)当,是否在折叠后的
上存在一点
,使得
平面
?若存在,求出
点位置,若不存在,说明理由;
(2)设,问当
为何值时,三棱锥
的体积有最大值?并求出这个最大值.
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【题目】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b2+c2=a2+bc,求:
(1)2sinBcosC﹣sin(B﹣C)的值;
(2)若a=2,求△ABC周长的最大值.
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【题目】(12分)在数列中,对于任意
,等式
成立,其中常数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求证:数列为等比数列;
(Ⅲ)如果关于n的不等式的解集为
,求b和c的取值范围.
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【题目】设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(Ⅰ)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2,求实数a的值.
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